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一道初中数学竞赛题, 很多人看完题后感觉简单, 但做对者寥寥无几

发布时间:2019-09-25 21:25:07 编辑:小优 来源:uc

例题:初中数学竞赛题如图,已知NS是⊙O的直径,弦AB丄NS于M,P为弧ANB上异于N的任一点,PS交AB于R,PM的延长线交⊙O于Q.求证:RS>MQ.

一道初中数学竞赛题, 很多人看完题后感觉简单, 但做对者寥寥无几(图1)

今天,数学世界给大家分析一道初中数学竞赛题,很多人看了此题后,都感觉非常简单,但是真正开始做了之后才知道,想证明出结论并不容易。这题确实有一定难度,如果不知道四点共圆的判定与性质,肯定是很难做出来的。解本题的关键是借助“四点共圆”根据已知条件和图形特点,即可解决问题。下面,我们就一起来分析这道例题吧!

分析:此题要证明的结论其实可以很直观的推出来,如果是选择题就很容易了,但是这是解答题,必须要有严谨的推理过程。由于图中有圆,所以辅助线是必不可少的。连接NR并延长交⊙O于Q′,连接NP,NQ,MQ′,SQ′。

根据∠NPS+∠NMB=180°,可证得N,M,R,P四点共圆,根据圆周角定理和等量代换,可证得∠SNQ′=∠SNQ,得出Q与Q′关于NS对称,则MQ′=MQ。再证明M,S,Q′,R这四点共圆,由于RS为直径,MQ′为非直径的弦,则必有RS>MQ′,于是结论得证。

一道初中数学竞赛题, 很多人看完题后感觉简单, 但做对者寥寥无几(图2)

证明:连接NR并延长交⊙O于Q′,连接NP,NQ,MQ′,SQ′。

∵NS是⊙O的直径,弦AB丄NS于M。

∴∠NPS=∠NMB=90°。

∴∠NPS+∠NMB=180°。

∴N,M,R,P四点共圆。

根据圆周角定理和等量代换。

得∠SNQ′=∠MNR=∠MPR,∠MPR=∠SPQ=∠SNQ。

即∠SNQ′=∠SNQ。

根据圆的轴对称性可知Q与Q′关于NS对称。

∴MQ′=MQ.

同样根据圆周角定理和对称。

得∠NQ′R=∠MQN=∠MSR。

∴M,S,Q′,R四点共圆。

∵RS为直径,MQ′为非直径的弦。

∴RS>MQ′。

∴RS>MQ.

一道初中数学竞赛题, 很多人看完题后感觉简单, 但做对者寥寥无几(图3)

说点什么

最新评论

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